在集合R²中给定一个子集族.验证R²有唯一的拓扑为它的一个子基,令A = {(x.y)∈R2:x

在欧氏平面R²中令

A为L₀的任一子集.证明为连通子集.

证明:实数集合R有一个拓扑以集族

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

A为L₀的任一子集.证明为连通子集.

(3) {a，1}，{b，2}.

设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:

(1)若,则存在使得;

(2)若,则存在使得.

设X是一个拓扑空间;是X中的一个子集族证明:如果对于每一个,集.合A_y的导集是闭集,则集合的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )

证:要证是闭集,即.

因对任意的所以于是又因所以要使(*)成立,只须或即对任意的有x.

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.