设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得

相应的定理.

解:定义:设X为非空集合,映射.如果满足条件:对于X的任意子集A,B,

则称为集合X的内部运算.

定理:若i°为非空集合X的内部运算,则存在唯一的拓扑使得对于每一i(A).

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

设X为拓扑空间,为X的任意子集族,A,B为X的任意子集,证明:

设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:

(1)若,则存在使得;

(2)若,则存在使得.

设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使得U⊂Xn是.的一个元素当且仅当或者或者Xⁿ- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.

(1)是Xⁿ的一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个空间.

设U为拓扑空间X的开集.证明:若X的紧致闭集族满足条件∩A⊂U,则存在的有限子满足条件(提示:可以应用加一点紧致化)

设是由集合X的一些拓扑构成的一个集族,其中指标集r非空证明:是X的一个拓扑.

证:仿习题2.7可证.

设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连续映射.