设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:(1)若,则存在使得;(2)

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.

设X是一个拓扑空间;是X中的一个子集族证明:如果对于每一个,集.合A_y的导集是闭集,则集合的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )

证:要证是闭集,即.

因对任意的所以于是又因所以要使(*)成立,只须或即对任意的有x.

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使得U⊂Xn是.的一个元素当且仅当或者或者Xⁿ- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.

(1)是Xⁿ的一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个空间.

设U为拓扑空间X的开集.证明:若X的紧致闭集族满足条件∩A⊂U,则存在的有限子满足条件(提示:可以应用加一点紧致化)

设是由集合X的一些拓扑构成的一个集族,其中指标集r非空证明:是X的一个拓扑.

证:仿习题2.7可证.

设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.

设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:

(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;

(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑