在欧氏平面R²中令A为L₀的任一子集.证明为连通子集.

在欧氏平面 R²中令

(1)单点集|(0,0)|,|(0,1)|都是Y的连通分支.(因为这两点不连通).

(2)若A是Y中既开又闭的子集,则或者(0,0),(0,1)两点都属于A,或者都不属于A.

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

在集合R²中给定一个子集族.

验证R²有唯一的拓扑为它的一个子基,令

A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.

问A作为拓扑空间的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间是一个离散空间. )

(1)每一局部道路连通空间都是局部连通空间.

(2)若X为局部道路连通空间f:X→Y为连续开映射,则f(X)为局部道路连通空间.

(3)若X₁,X₂,…,X_n为局部道路连通空间,则积空间X₁xX₂x…xX_n为局部道路连通空间.

(4)局部道路连通空间 X中开集A为道路连通子集,当且仅当A为连通子集.