设为拓扑空间族的积空间,并且对于每一γ∈Г,确定了x_y,的子集Y_y.证明:

设为拓扑空间族的积空间.证明:若对于每γєГ,X_y有子基则

是积拓扑的子基.

设为拓扑空间族的积空间,Г₁为Г的非空子集.定义使得对于每一满足条件:对于任一证明:Pr₁为在上的连续开映射.

证明拓扑空间族的积空间正则或完全正则空间,则每一坐标空间相应地为具有同一性质的空间.

设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基

的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.

设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔离的子集,则为连通子集.

并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.

在集合R²中给定一个子集族.

验证R²有唯一的拓扑为它的一个子基,令

A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.

问A作为拓扑空间的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间是一个离散空间. )

设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:

(1)的每一成员都是既开又闭的集合.

(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.

(3)有一子基为

设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使得U⊂Xn是.的一个元素当且仅当或者或者Xⁿ- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.

(1)是Xⁿ的一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个空间.

设X为拓扑空间,为X的任意子集族,A,B为X的任意子集,证明:

设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连续映射.