设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:(1)的每一成员都是既开又闭的集合.(2)若为实数空

记实数集合R的通常拓扑为令

证明:

(1)是实数集合R的一一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个Hausdorff空间;

(3)拓扑空间不是正则空间,也不是正规空间.

证明实数集合R有以集族

为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且

(1) 将写出来.

(2) 设A⊂R,求A在拓扑空间中的闭包.

证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间是两个实数下限拓扑空间R,(参见例 2. 6.1)的积空间.

证明:实数集合R有一个拓扑以集族

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基

的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.

证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构。