设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.

设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:

(1)的每一成员都是既开又闭的集合.

(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.

(3)有一子基为

设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:

(1)如果是X的一个子基,则为Y的一个子基.

(2)如果是点y在X中的一个邻域子基,则IY是点y在Y中的一个邻域子基.

设都是X的拓扑,并且证明若为T_o,T₁或Hausdorff空间.则相应地为T_o,T₁或Hausdorff空间.

设为拓扑空间族的积空间.证明:若对于每γєГ,X_y有子基则

是积拓扑的子基.

设为拓扑空间族的积空间,并且对于每一γ∈Г,确定了x_y,的子集Y_y.证明:

设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连续映射.

在集合R²中给定一个子集族.

验证R²有唯一的拓扑为它的一个子基,令

A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.

问A作为拓扑空间的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间是一个离散空间. )

设Y为拓扑空间X的一个子空间,A⊂Y.证明:

并举例说明等式可以不成立.

设为拓扑空间族的积空间,Г₁为Г的非空子集.定义使得对于每一满足条件:对于任一证明:Pr₁为在上的连续开映射.