设为拓扑空间族的积空间,Г1为Г的非空子集.定义使得对于每一满足条件:对于任一证明:Pr1为在上的连续开映射.
第3题
设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔离的子集,则为连通子集.
并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.
第5题
设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得
证明为道路连通子集.
第6题
设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.
第7题
证明任意非空集合X都有一个拓扑,满足条件:(1)为T1空间;(2)若为X的拓扑,且.为的真子族,则不是T1空间.
第9题
设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:
(1)的每一成员都是既开又闭的集合.
(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.
(3)有一子基为
第10题
在集合R2中给定一个子集族.
验证R2有唯一的拓扑为它的一个子基,令
A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.
问A作为拓扑空间的一个子空间时有什么特点?(提示:证明拓扑空间是一个离散空间. )
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