设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使

设是一个拓扑空间,其中∞是任何一个不属于X的元素.令证明是一个拓扑空间.

设X是一个拓扑空间.令

证明:是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).

在集合R²中给定一个子集族.

验证R²有唯一的拓扑为它的一个子基,令

A = {(x.y)∈R2:x +y=1}.

问A作为拓扑空间的一个子空间时有什么特点？(提示:证明拓扑空间是一个离散空间. )

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间.

设X是一个拓扑空间;是X中的一个子集族证明:如果对于每一个,集.合A_y的导集是闭集,则集合的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )

证:要证是闭集,即.

因对任意的所以于是又因所以要使(*)成立,只须或即对任意的有x.

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.

设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.

设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:

(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;

(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑

设X和Y是一个拓扑空间,X1⊂X.定义映射

使得对于任何证明:对于的紧致开拓扑而言,映射r连续.

设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:

(1)若,则存在使得;

(2)若,则存在使得.