已知f[n] =x[n]cos(πn/4) ， 其离散时间傅里叶变换为 ，在Ω的主值区间(-π，π)内。试确定序列x[n]，

已知序列值为2、1、0、1的4点序列x[n],试计算8点序列

离散傅里叶变换Y(k),k=0,1,2,3,4,5,6,7.

考虑离散傅里叶变换

其中W_N=e^-j2x/N,假设序列值x(n)是一均值为零的平稳白噪声序列的N个相邻序列值,即

(1)试确定|X(k)|²的方差

(2)试确定离散傅里叶变换值间的互相关,即确定E[X(k)X(r)],并把它表示为k和r的函数。

设x(n)为一实值序列,其傅里叶变换.现在想要得到一个信号y(n).它的傅里叶变换在-π＜w≤π内为

图5-27.的系统用于从x(n)得到y(n).试确定要使系统正常工作,图中滤波器的频率响应必须满足什么限制.

在图示行星减速器中,已知各轮齿数电动机转速为960r/min,试求输出轴的转速n₄？

已知三角脉冲f₁(t)的傅里叶变换为

试利用有关定理求的傅里叶变换的波形如图3-37所示.

考虑一个实值反因果序列x(n)，其离散时间傅里叶变换为X(e jω)。X(e jω)的实部为， 求X(e jω) 的虚部X1 (e jω) 。

考虑一个离散时问低通滤波器，已知它的单位脉冲响应h[n]为实值序列，频率响应在-π≤ω≤π内为

求出并出该滤波器在下列所给出的群时延函数下的实值单位脉冲响应：

设x[n]是一有限长信号，即存在某一整数N，在0≤n≤N1-1以外，有

x[n]=0

另外，令x[n]的傅里叶变换是X(e^jω).现在可以构成一个周期信号x[n]，x[n]在一个周期内等于x[n]。也即，令N≥N，是一个已知的整数，并令x[n]的周期为N，使之有

x[n]的傅里叶级数系数为

选取求和区间，以便在该区间内有x[n]=x[n]，于是可得

由式(P5.53-1)定义的系数就构成了x[n]的离散时间傅里叶变换。x[n]的离散时间傅里叶变换通常记为X[k]。并定义为

离散时间傅里叶变换的重要性来自于几个原因。第一，原先的有限长信号可以从它的离散时间傅里叶变换恢复，具体而言，

因此，有限长信号既可以看成由所给的有限个非零值所表征，也能看成由它的有限个离散时间傅里叶变换值X[k] 来确定。离散时间傅里叶变换的第二个重要特点是对于它的计算有一个称为快速傅里叶变换(FFT) 的极快的算法(见习题5.54对这一极为重要方法的介绍)。同时，由于它与离散时间傅里叶级数和变换之间的密切关系，离散时间傅里叶变换本身就有一些傅里叶分析的重要特性。

(a)假设N≥N，证明

其中X[k]是x[n]的离散时间傅里叶变换。也就是说，离散时间里叶变换就相应于X(e^jω)每隔2π/N所取的样本值。式(P5.53-3)可以导出结论：x[n]能唯一地由x(e^jω)的这些样本值来表示。

(b)现在考虑每隔2π/M，M＜N.所取的X(e jω)的样本值。取得这些样本值所对应的序列就不仅是一个长度为N的序列。为了说明这一点，现考虑两个信号x1[n]和x2[n]，如图5-33所示，证明：若取M=4，则对所有的k值有

充分大时，近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.

注：此题应将随机变量X_n与其平方和的平均值的使用不同的记号，这里已改记为Y_n