设3维线性空间V₃的线性变换T在基 下的矩阵为(1)求T在基 下的矩阵;(2)求T的像空间及维数;(3

函数集合对于函数的线性运算构成3维线性空间，在V₃中取一个基求微分运算D在这个基下的矩阵。

设是线性空间V的线性变换，已知在基η₁,η₂...,η_n下的矩阵是

求的所有不变子空间

设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(a_ij)∈V，T(A)=P^TAP，其中P^T为P的转置矩阵。

(1)验证T是V上的线性变换;

(2)当n=2，求T在V的基下的矩阵，其中

设α₁，α₂，α₃是R³上的一个基，线性变换T在该基下的矩阵为A=，求T在基β₁=α₁+2α₃，β₂=α₁-α₂，β₃=α₂+α₃下的矩阵。

在线性空间中定义线性变换T为求线性变换T在基下的矩阵A。

函数集合

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

求微分运算D在这个基下的矩阵。

设T为R³的一个线性变换，满足。其中，。

(1)求T在下的矩阵A。

(2)求T在基下的矩阵B。

设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η₁,…,η_n为V的基f₁,…,f_n为η₁,…,η_n的对偶基

(1)证明:对V的任一线性函数f,f仍是V的线性函数

(2)定义V*到自身的映射*为:

证明:*是V*的线性变换

(3)如在基η₁,…,η_n下的矩阵是A,试求*在基f₁,…,fn下的矩阵