函数集合对于函数的线性运算构成3维线性空间，在V₃中取一个基求微分运算D在这个基下的矩阵。

函数集合

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

求微分运算D在这个基下的矩阵。

验证函数集合对于函数的线性运算构成线性空间。

设3维线性空间V₃的线性变换T在基下的矩阵为

(1)求T在基下的矩阵;

(2)求T的像空间及维数;

(3)求T的核及维数。

V是数域P上一个3维线性空间，ε₁，ε₂，ε₃是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知

求。

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

设A为已知的mXn矩阵，

(1)验证V对通常的矩阵加法和乘数运算构成线性空间：

(2)当时，求V的一个基。

设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(a_ij)∈V，T(A)=P^TAP，其中P^T为P的转置矩阵。

(1)验证T是V上的线性变换;

(2)当n=2，求T在V的基下的矩阵，其中

验证以下集合对于所指定的运算是否构成数域R上的线性空间。

(1)所有n阶对称矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(2)所有n阶可逆矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(3)微分方程y"+3y'-3y=0的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(4)微分方程y"+3y'-3y=2的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(5) V={f(x)∈C[a, b]|f(a)=1}对函数的加法及数与函数的乘积。