设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(a

设A为已知的mXn矩阵，（1)验证V对通常的矩阵加法和乘数运算构成线性空间：（2)当时，求V的一个基。

设A为已知的mXn矩阵，

(1)验证V对通常的矩阵加法和乘数运算构成线性空间：

(2)当时，求V的一个基。

设V为由全部2阶实方阵所构成的线性空间，对于任意A∈V，定义：P（A)=其中A^T表示转置矩阵。（1)

设V为由全部2阶实方阵所构成的线性空间，对于任意A∈V，定义：P(A)=其中A^T表示转置矩阵。

(1)证明：P为线性变换。

(2)求P在基下的矩阵。

仿照闭包运算的定义自行定义“内部运算" （参照定理2.s.3).并自行叙述和证明与定理 2.4.8

相应的定理.

解:定义:设X为非空集合,映射.如果满足条件:对于X的任意子集A,B,

则称为集合X的内部运算.

定理:若i°为非空集合X的内部运算,则存在唯一的拓扑使得对于每一i(A).

验下列集合对指定的运算是否构成实数域上:的线性空间。 （1)全体n阶对称（反对称、上三角形，可逆)

验下列集合对指定的运算是否构成实数域上:的线性空间。

(1)全体n阶对称(反对称、上三角形，可逆)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法。

(2)次数等于n(n≥1)的实系数一元多项式，对于多项式的加法和数与多项式的乘法。

(3)平面上的全体向量，对于向量的加法和如下定义的数量乘法:k₀a=a.

(4)全体正实数R⁺，加法和数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。（1)2阶反对称（上三角)矩阵，对于矩

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

函数集合

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

求微分运算D在这个基下的矩阵。

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:（1)全体n阶正交矩阵,对

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间给定n阶方阵P，变换

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换。

验证下列集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间：（1)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S₁;（2)3阶对称矩阵的全体S₂;（3)3阶反对称矩阵的全体S₃。