设R是A上自反的关系，(1)证明R·R^-1是A上的自反关系.(2)证明R·R^-1是A上的对称关系.

设，证明R在A上是反自反的充要条件是其中I_A是A上的恒等关系。

判断下列各关系是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性.

(1)R是自然数集合N上的关系.且xRy当且仅当x +y是偶数.

(2)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当x>y或y>r.

(3)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当|x|+|y|≠3.

(4)R是有理数集合Q上的关系,且xRy当且仅当y=x+2.

(5)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当xy=4.

设,对于任意x,y,z∈A。如果(x,y)∈R且(y.z)∈R，那么(z,x)∈R,则称R为A上的循环关系。

(1)试举出一个循环关系的例子。

(2)证明:若R是自反的和循环的。则R具有对称性和传递性。