设 ,对于任意x,y,z∈A。如果(x,y)∈R且(y.z)∈R，那么(z,x)∈R,则称R为A上的循环关系。(1)试举出一个

设(R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。

证明：(1)(R，⨁，𐍈)是含幺环。

(2)令ϕ(x)=x-1,则ϕ是环(R，+ )到环(R，⨁，𐍈)的同构映射。

设R是集合A上的关系,构造A上的关系S如下:对于任意x,y∈A,，要使得S是等价关系,关系R必须满足哪些性质？

设(X,ρ)为度量空间p',p":XxX→R分别定义为对于任意r,y∈x,

.

设R是区间(-∞,十∞)上的所有连续函数引成的集合，对于任意f，g∈R,定义。试判断(R，+)是否能构成环。

设(1)f(z)在z|≤1上连续;(2)对任意的r(0< r< 1)，试证:

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ(x)=x²+2x+1,τ:R→R,r(x)=x/2.

(1)求τ○σ,σ○τ.

(2)对于τ、σ中的双射函数求反函数.

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。

证明： (R，+)是环，并求出该环的所有零内子。

设A= {a，b，c}的幂集为p(A)，在p(A)上的二元关系R为包含关系，即R={(x，y) |x，y∈p(A)且xy}，试证明(p(A)，)是偏序集。