设是线性空间V的线性变换，W为的不变子空间。证明:(W)还是的不变子空间。

设是线性空间V的线性变换，已知在基η₁,η₂...,η_n下的矩阵是

求的所有不变子空间

设为欧几里得空间的正交变换，证明:的不变子空间的正交补也是的不变子空间

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但证明:线性无关(k＞1)

设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令

证明:(1)W^⊥是V的线性子空间

(2)如果W∩W^⊥={0},则V=W⊕W^⊥

设ε₁，ε₂，...，ε_n是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。

设W为向量空间V的子空间，

为W的一个基，

证明:

也是W的基的充分必要条件是

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:

设

为n维向量空间V的两个线性变换，且

证明: