设ε₁，ε₂，...，ε_n是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。

设σ是线性空间V上的线性变换,如果 ,但证明:线性无关(k＞1)

若是线性空间V的一组基,T是V的一个线性变换，则T可逆的充分必要条件是线性无关。

设为数域K上n维线性空间V的线性变换，η₁,…,η_n为V的基f₁,…,f_n为η₁,…,η_n的对偶基

(1)证明:对V的任一线性函数f,f仍是V的线性函数

(2)定义V*到自身的映射*为:

证明:*是V*的线性变换

(3)如在基η₁,…,η_n下的矩阵是A,试求*在基f₁,…,fn下的矩阵

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

设和是n维线性空间V中的向量组。且是可逆矩阵，证明:与都是V的基，或者都不是V的基。

设是线性空间V的线性变换，已知在基η₁,η₂...,η_n下的矩阵是

求的所有不变子空间

A.当且仅当集合{α₁，α₂，…，α_n}{β₁，β₂，…，β_m}

B.当且仅当向量组α₁，α₂，…，α_n可以由向量组β₁，β₂，…，β_m线性表示

C.当且仅当V的基都是W的基

D.当且仅当dimV≤dimW

设非空集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，P为可逆矩阵，在V中定义映射T如下：对任意A=(a_ij)∈V，T(A)=P^TAP，其中P^T为P的转置矩阵。

(1)验证T是V上的线性变换;

(2)当n=2，求T在V的基下的矩阵，其中

设V为n维线性空间，η₁,η₂,…η_n为V的一个基

α₁=η₁+η₂+...+η_n,α₂=η₂+...+η_n,...,α_n=η_n

(1)证明:α₁,α₂...,α_n为V的一个基

(2)求由基η₁,η₂,…η_n到基α₁,α₂...,α_n的过渡矩阵

(3)设α在基η₁,η₂,…η_n下的坐标为(α₁,α₂...,α_n),求α在基α₁,α₂...,α_n下的坐标

设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令

证明:(1)W^⊥是V的线性子空间

(2)如果W∩W^⊥={0},则V=W⊕W^⊥