设W为向量空间V的子空间，为W的一个基， 证明:也是W的基的充分必要条件是

设w为欧几里得空间V的子空间，a是V的一个向量.定义a到W的距离

其中,a'为a在W上的正交投影.

证明:如果a₁,a₂,...,a_m为W的基,则

这里的G(...)是向量组的格拉姆矩阵.

设W，W₁，W₂都是向量空间V的子空间，其中W₁W₂且W∩W₁=W∩W₂，W+W₁=W+W₂，证明：W₁=W₂。

设W,W₁,W₂都是向量空间V的子空间，且.

证明:W₁=W₂

设是线性空间V的线性变换，W为的不变子空间。证明:(W)还是的不变子空间。

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:

设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令

证明:(1)W^⊥是V的线性子空间

(2)如果W∩W^⊥={0},则V=W⊕W^⊥

设

为K"的s个线性子空间.

证明:W为Kn的线性子空间的充分必要条件是，存在