证明实数集合R有以集族 为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且(1) 将写出来.(2) 设A⊂

证明:实数集合R有一个拓扑以集族

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

记实数集合R的通常拓扑为令 证明:（1)是实数集合R的一一个拓扑;（2)拓

记实数集合R的通常拓扑为令

证明:

(1)是实数集合R的一一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个Hausdorff空间;

(3)拓扑空间不是正则空间,也不是正规空间.

设为实数集合的下限拓扑空间（见例2.6.1),证明:（1)的每一成员都是既开又闭的集合.（2)若为实数空

设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:

(1)的每一成员都是既开又闭的集合.

(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.

(3)有一子基为

设是由集合X的一些拓扑构成的一个集族,其中指标集r非空证明:是X的一个拓扑.

证:仿习题2.7可证.

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件（1),（2)和（3).证明X有唯一的一个拓扑使得

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.

证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构（R,

证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构。

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ（x)=x²+2x+1,τ:R→R,r（x)=x/2.（1)求τ○σ,σ○τ.（2)对于τ、σ

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ(x)=x²+2x+1,τ:R→R,r(x)=x/2.

(1)求τ○σ,σ○τ.

(2)对于τ、σ中的双射函数求反函数.

设N为自然数集,证明.

分析:利用基数来表示研究集合中元素的个数,并来区分有限集和无限集,要注意的是不同

无限集的基数并非完全一致的,最常见的、也是最小的无限集的基数是自然数集N的基数N。与N能够建业一一对应关系的那些无限集的基数也是N。,注意还有比R。大的无限集基数常见的证明方法是将待证集合中的元素与自然数集N、实数集R等集合的元素建立对应关系,有时还要用数学归纳法来找出对应的规律.

设为拓扑空间族的积空间.证明:若对于每γєГ,X_y有子基则

是积拓扑的子基.

证明:为代数结构的同态(这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为什么？