证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,

非零实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构吗？为什么？

令M_n(R)表示元素为实数的所有n阶方阵组成的集合。验证M_n(R)关于矩阼的加法运算构成群，并说明M_n(R)关于矩阵的乘法运算所作成的代数结构不能构成群。

令R[x]表示所有系数为实数的关于x的多项式组成的集合,验证R[x]关于多项式的加法运算构成。

证明:为代数结构的同态(这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为什么？

给定代数结构，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，*定义如下：a*b=a+b+ab。试证明：是独异点。

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

检验下列集合对于所给的运算是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法与标量乘法;

(2)次数等于n(n≥1)的实系数多项式全体,对于多项式的加法与乘法;

(3)平面上全体向量,对于向量的加法与如下定义的标量乘法:ka=a;

(4)全体正实数R⁺,加法和标量乘法定义为:

记实数集合R的通常拓扑为令

证明:

(1)是实数集合R的一一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个Hausdorff空间;

(3)拓扑空间不是正则空间,也不是正规空间.