设W，W₁，W₂都是向量空间V的子空间，其中W₁W₂且W∩W₁=W∩W₂，W+W₁=W+W≇

设W,W₁,W₂都是向量空间V的子空间，且.

证明:W₁=W₂

设W为向量空间V的子空间，

为W的一个基，

证明:

也是W的基的充分必要条件是

设w为欧几里得空间V的子空间，a是V的一个向量.定义a到W的距离

其中,a'为a在W上的正交投影.

证明:如果a₁,a₂,...,a_m为W的基,则

这里的G(...)是向量组的格拉姆矩阵.

设和是n维线性空间V中的向量组。且是可逆矩阵，证明:与都是V的基，或者都不是V的基。

设

为n维向量空间V的两个线性变换，且

证明:

设由生成的向量空间为V，求空间V的维数及它的一组基，并用基表示出其余向量。

设

中给定的r个向量，证明:

组成

的子空间.

设Y为向量空间V的一个线性流形.证明:存在Y中的r+1个向量

使