设R是区间(-∞,十∞)上的所有连续函数引成的集合，对于任意f，g∈R,定义。试判断(R，+)是否能构成环。

设，定义R上的加法+运算和乘法，如下:对于任意，。

证明： (R，+)是环，并求出该环的所有零内子。

设函数f(x)定义在区间1上,如果对于任何

证明:在区间I的任何闭子区间上f(r)有界.

设(R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。

证明：(1)(R，⨁，𐍈)是含幺环。

(2)令ϕ(x)=x-1,则ϕ是环(R，+ )到环(R，⨁，𐍈)的同构映射。

设R是集合A上的关系,构造A上的关系S如下:对于任意x,y∈A,，要使得S是等价关系,关系R必须满足哪些性质？

设函数f(z)在|z|

试证:M(r)在区间[0,R)上是一个上升函数,且若存在r₁及r₂(0≤r₁,r₂≤R)使得M(r₁)=M(r₂),则f(z)=常数.

设,对于任意x,y,z∈A。如果(x,y)∈R且(y.z)∈R，那么(z,x)∈R,则称R为A上的循环关系。

(1)试举出一个循环关系的例子。

(2)证明:若R是自反的和循环的。则R具有对称性和传递性。

设f为R上连续函数.常数c＞0,记

证明F(x)在R上连续.

设(1)f(z)在z|≤1上连续;(2)对任意的r(0< r< 1)，试证:

设R是集合S上的关系，S'是S的子集，定义S'上的关系R'如下：

R'=R∩(S'XS')

确定下述每一断言的真假：

(a)若R在S上是传递的，那么R'在S'上也是传递的，

(b)若R是S上的偏序，则R'也是S'上的偏序。

(c)若R是S上的拟序，则R'也是S'上的拟序。

(d)若R是S上的线序，则R'也是S'上的线序。

(e)若R是S上的良序，则R'也是S上的良序。