设A是数域K上一个sXn矩阵,且A≠0。证明:rank(A)=1当且仅当A能表示成一个s维列向量和一个n维行向量的乘积。

设A是数域K上sXn矩阵。令则A是Kⁿ到K^j的一个线性映射。证明:（1)A是单射当且仅当KerA=

设A是数域K上sXn矩阵。令

则A是Kⁿ到K^j的一个线性映射。证明:

(1)A是单射当且仅当KerA=(0)

(2)A是满射当且仅当ImA=K^j

(3)当s=n时,A是单射当且仅当A是满射,从而A是双射。

如图所示，设是数域K上一个多项式。证明:如果λ₀是K上n级矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ₀的一个特征向量,那么f(λ₀)是矩阵f(A)的一个特征值,且α是f(A)的属于f(λ₀)的一个特征向量。

设A是sXn矩阵。证明:（1) A是列满秩矩阵当且仅当存在s级可逆矩阵P,使得（2) A是行满秩矩阵当且仅

设A是sXn矩阵。证明:

(1) A是列满秩矩阵当且仅当存在s级可逆矩阵P,使得

(2) A是行满秩矩阵当且仅当存在n级可逆矩阵Q,使得

A=(1,0)Q.

设A、B分别是数城K上的sXn，sXm矩阵。用（A,B)表示在A的右边添写上B得到的sX（n+m)矩阵。证明:rank（A)=rank（（A,B))当且仅当B的列向量组可以由A的列向量组线性表出。

设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a₁,a₂,...,a_n是Kⁿ（由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ₁,γ₂,...,γ_n是Kⁿ（由行向量组成)的一个基。

设数域K上mXn矩阵H的列向量组为a₁,a₂,..,a_s证明:H的任意s列（s≤min{m,n})都线性无关当且仅当:齐次线性方程组x₁a₁+x₂a₂+...+x_na_n=0的任一非零解的非零分盘的数目大

在复数域上的n维向量空间C^m中,任给两个列向量a,β,规定这个二元复值函数（a,β)称为Cm⊕

在复数域上的n维向量空间C^m中,任给两个列向量a,β,规定

这个二元复值函数(a,β)称为C^m上的一个内积。证明:Va,β,r∈Cm,k∈C,有

(2)(α+y,β)=(α+β)+(y,β)

(3)(kα,f)=k(α,β)

(4)(α,α)是非负实数,(α,α)=0当且仅当α=0