设A是数域K上sXn矩阵,证明:A的秩为r当且仅当存在数域K上sXr列满秩矩阵B与rXn行满秩矩阵C，使得A=BC。

设A是sXn矩阵。证明:

(1) A是列满秩矩阵当且仅当存在s级可逆矩阵P,使得

(2) A是行满秩矩阵当且仅当存在n级可逆矩阵Q,使得

A=(1,0)Q.

设A∈Mm,r(K).证明:

(1)A为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P∈Mm(K),使A=

;

(2)A为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵B∈Mr,m(K),使

BA=Er.

设数域K上的n级矩阵

满足

证明:A的列向量组a₁,a₂,...,a_n的秩等于n。

设A是数域K上sXn矩阵。令

则A是Kⁿ到K^j的一个线性映射。证明:

(1)A是单射当且仅当KerA=(0)

(2)A是满射当且仅当ImA=K^j

(3)当s=n时,A是单射当且仅当A是满射,从而A是双射。

设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m＞n,A的列空间记作U.记P_A=A(A'A)^-1A'。,令

证明:P_A是R^m在U上的正交投影。