给定代数结构，其中N是自然数集合，x是数的乘法。设f：N→|0，1|，定义为：。试证

给定代数结构，其中·是矩阵乘法，试证K是Klein四元群。

给定代数结构，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，*定义如下：a*b=a+b+ab。试证明：是独异点。

给定代数结构，其中S中元为实数有序对，*定义为。试证：是可交换独异点。

设f(x)在[a,b]连续,试证

其中n为自然数

给定独异点V=，其中Z是整数集合，x是通常数的乘法，试证是V的子半群，但不是子独异点。

给定代数结构其中K=|e，a，b，c|，*的运算表为：

试证：是群(称Klein四元群)，但不是循环群。

给定群其中Z是整数集合，+和•是通常数的加法和乘法，i²=-1。定义函数f：Z→{1，-1，i，-i}是f(n)=iⁿ，n∈Z。试证f是到的同态映射，并求核K_f。