设为非空集合X的两个拓扑,且证明若为连通空间则也是连通空间.
第1题
证明任意非空集合X都有一个拓扑,满足条件:(1)为T1空间;(2)若为X的拓扑,且.为的真子族,则不是T1空间.
第2题
(1)每一局部道路连通空间都是局部连通空间.
(2)若X为局部道路连通空间f:X→Y为连续开映射,则f(X)为局部道路连通空间.
(3)若X1,X2,…,Xn为局部道路连通空间,则积空间X1xX2x…xXn为局部道路连通空间.
(4)局部道路连通空间 X中开集A为道路连通子集,当且仅当A为连通子集.
第3题
设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔离的子集,则为连通子集.
并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.
第4题
设都是X的拓扑,并且证明若为To,T1或Hausdorff空间.则相应地为To,T1或Hausdorff空间.
第5题
设Г为一集合,对于每一为拓扑空间.记为X的以为子基
的拓扑.证明:若为X的拓扑,并且对于每一-又则.
第6题
设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间.
第8题
设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:
(1)的每一成员都是既开又闭的集合.
(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.
(3)有一子基为
第9题
设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.
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