设函数证明:当点(x,y)沿通过原点的任意直线(y=mx)趋于(0,0)时,函数f(x,y)存在极限,且极限相等

(1)判定二重极限不存在，有哪些常用方法？

(2)由(1)可知：如果当P(x，y)沿某两条直线趋于P₀(x₀，y₀)时，函数f(x，y)的极限都存在但不相等，则二重极限必不存在。那么如果P(x，y)沿任意直线趋于P₀(x₀，y₀)时，函数f(x，y)的极限都存在且等于A，这时是否可断言

设λ＞0，且级数收敛，证明函数当a＞1时绝对收敛.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f'(x)＞0.若极限存在,证明:

(I)在(a,b)内,f(x)＞0;

(II)在(a,b)内存在一点ξ,使

(III)在(a,b)内存在与(II)中ξ相异的点η,使

根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I'.

准则I'如果

那么存在，且等于A.

证明f(x₀, y₀)=g(x₀, y₀)=0 当且仅当方程组

在(x₀, y₀)的任意邻域内都有时间长为任意大的轨道段.这里我们把方程的解(x(t).y(t))看成xy平面上以t为参数的曲线，称为轨道.

设函数f(x)与g(x)在点x₀连续.证明函数

在点x₀也连续.

设函数z=x^y,求当x=1,y=2,x=0.04,y=-0.02时的全微分.