设A为连通的拓扑空间X的真子集.证明若A≠Ф,则b(A)≠Ф.

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

(1)每一局部道路连通空间都是局部连通空间.

(2)若X为局部道路连通空间f:X→Y为连续开映射,则f(X)为局部道路连通空间.

(3)若X₁,X₂,…,X_n为局部道路连通空间,则积空间X₁xX₂x…xX_n为局部道路连通空间.

(4)局部道路连通空间 X中开集A为道路连通子集,当且仅当A为连通子集.

设X为拓扑空间,为X的任意子集族,A,B为X的任意子集,证明:

设为非空集合X的两个拓扑,且证明若为连通空间则也是连通空间.

设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔离的子集,则为连通子集.

并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.