令为由一切形如的方阵作成的集合证明:对普通加法与乘法来说，R与同构且是一个域.

令R₁t为由Z₂上4个二阶方阵

关于方阵的普通加法与乘法作成的环.证明:§12例1中的环R与这个环R1t同构.

令M_n(R)表示元素为实数的所有n阶方阵组成的集合。验证M_n(R)关于矩阼的加法运算构成群，并说明M_n(R)关于矩阵的乘法运算所作成的代数结构不能构成群。

证明：正实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构。

证明:全体形如

的数组成的集合构成一个数域.

非零实数集合R*关于乘法运算所构成的代数结构与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R,+)同构吗？为什么？

设

(1)证明:P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间;

(2)求P的维数与基.

所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵，如

就是一个三阶魔阵.

(1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间;

(2)求M³的维数.