证明:若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元

设环.证明:环R有单位元当且仅当每个理想R,有单位元并且

其中1是R的单位元,1,是R_i的单位元.

设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基（IKaplansky)定理:设R是一个有单位元（用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.

设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元,a∈K,并令R[a/={f（a)|f（x)∈R/x]}证明:R[x]~R[a]

设Z_nxn.为整数环Z上的n（n＞1)阶全阵环.举例给出其子环S₁,S₂除共同满足S₁S₂

Z_nxn外，并分别满足:

1)S₁与S₂都有单位元，但不相等;

2)S₁与S₂有相同的单位元;

3)S₁有单位元，S₂无单位元;

4)S₁无单位元,S₂有单位元;

5)S₁与S₂都无单位元

设A是非空集合,集合代数（p（A),U,∩)中,p（A)对运算∪的单位元是_____,p（A)对运算∩的单位元是_________.