，y∈R,x*y=|x-y|.则0为<R,*>的单位元.

设环.证明:环R有单位元当且仅当每个理想R,有单位元并且

其中1是R的单位元,1,是R_i的单位元.

设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基（IKaplansky)定理:设R是一个有单位元（用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.

设Z_nxn.为整数环Z上的n（n＞1)阶全阵环.举例给出其子环S₁,S₂除共同满足S₁S₂

Z_nxn外，并分别满足:

1)S₁与S₂都有单位元，但不相等;

2)S₁与S₂有相同的单位元;

3)S₁有单位元，S₂无单位元;

4)S₁无单位元,S₂有单位元;

5)S₁与S₂都无单位元