证明:P₀∈E'的充要条件是对任意含有P₀的邻域U(P，δ)(不一定以P为中心)中，恒有异于P≇

设曲线

P处的切线为l,过P₀及I的平面为π'.证明当P沿趋于P₀时,平面π'的极限位置为在P₀的密切平面

(1)唯一性定理:若极限存在,则它只有一个极限.

(2)局部有界性定理:若则存在点P₀(a,b)的某空心邻域U°(P₀,δ),使f(x,y)在U*(P₀,δ)∩D上有界.

(3)局部保号性定理:若(或＜0).则对任意正数r(0＜r＞|A|),存在P₀(a,b)的某空心邻域U*(P₀,δ),使得对一切点P(x,y)f(x,y)＜-r＜0).

叙述并证明:二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.

(1)唯一性定理:若极限存在,则它只有一个极限.

(2)局部有界性定理:若则存在点P₀(a,b)的某空心邻域U°(P₀,δ),使f(x,y)在U*(P₀,δ)∩D上有界.

(3)局部保号性定理:若(或＜0).则对任意正数r(0＜r＞|A|),存在P₀(a,b)的某空心邻域U*(P₀,δ),使得对一切点P(x,y)f(x,y)＜-r＜0).

设曲线的方程为r=r(t),其中r∈C⁽²⁾,P₀(即r(t₀))及P(即r(t₀+Δt))是T两点,且r'(t₀)Xr"(t₀)≠0.记T在P处的切线为1,过Pc及l的平面为π'.证明:当P沿T趋于P₀时,平面π'的极限位置为T在P₀的密切平面.

证明:若f'x(x,y),f´y(x,y)和f"xy(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的邻域存在,且f"_xy(x,y)在点P₀(x₀,y₀)连续,则f"_yz(x,y)在P₀(x₀,y₀)也存在,且

f"_xy(x₀,y₀)=f"_yz(x₀,y₀)(比定理1的条件弱).