设X,Y为集合,定义,使得对于任意,.证明:(1)△是一 一映射.(2)P^i。△=i_x,(i=1,2).(3)△(X

设X,Y为集合,a∈X,b∈Y定义映射,使得对于任意,使得对于任意.证明:（1) 都是一 一映射.（2)（3) （4)

设X,Y为集合,a∈X,b∈Y定义映射,使得对于任意,使得对于任意.证明:

(1)都是一 一映射.

(2)

(3)

(4)为取常值a的映射,为取常值b的映射,其中p_i是XxX的第i个投射,i= 1.2.

设X和Y是一个拓扑空间,X1⊂X.定义映射

使得对于任何证明:对于的紧致开拓扑而言,映射r连续.

仿照闭包运算的定义自行定义“内部运算" （参照定理2.s.3).并自行叙述和证明与定理 2.4.8

相应的定理.

解:定义:设X为非空集合,映射.如果满足条件:对于X的任意子集A,B,

则称为集合X的内部运算.

定理:若i°为非空集合X的内部运算,则存在唯一的拓扑使得对于每一i(A).

X₁,X₂为集合.令

定义使得证明j是在上的一 一映射.

考虑映射空间R'（点式收敛拓扑),其中I=[0,1].对于每一个iєZ.,定义使得对于任意xєI有fi（

考虑映射空间R'(点式收敛拓扑),其中I=[0,1].对于每一个iєZ.,定义使得对于任意xєI有fi(x)=x’证明:R¹中的序收敛,但其极限不是一个连续映射.

设f:X→Y.证明:（1)对于任意A⊂X,A⊂f’（f（A)).（2)对于任意B⊂Y, （3)f为在上的映射当且仅当对于每一

设f:X→Y.证明:

(1)对于任意A⊂X,A⊂f’(f(A)).

(2)对于任意B⊂Y,

(3)f为在上的映射当且仅当对于每一

设ξ:S¹→S¹为同胚映射,满足条件:对于任意xєS¹,ξ（ξ（x)) = x.证明:对于任一连续映射f:S¹→R,存在点:єS¹,使得f（z) =f （ξ（z)).

设R是集合A上的关系,构造A上的关系S如下:对于任意x,y∈A,，要使得S是等价关系,关系R必须满足哪些性质？

设f:X→Y.证明下列各条件等价:（1)f是一 一映射.（2)对于任意 （3)对于任意A⊂X,A=f-1（（A)).（4)对于

设f:X→Y.证明下列各条件等价:

(1)f是一 一映射.

(2)对于任意

(3)对于任意A⊂X,A=f-1((A)).

(4)对于任意A⊂X,f(X-A)=f(X)~f(A).

设（R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。证明：（1)（R，⨁，𐍈)是含幺环。（2)令ϕ（x)=x-1,则ϕ是环（R，+

设(R，+)是含1的环,对于任意x,y∈R,定义。

证明：(1)(R，⨁，𐍈)是含幺环。

(2)令ϕ(x)=x-1,则ϕ是环(R，+ )到环(R，⨁，𐍈)的同构映射。