设X,Y是两个拓扑空间,又设映射f:X→Y满足条件:对于X的任何一个子集A ,A的象的内部包含于A的内部的象,即:i(f(A))⊂f(i(A)). (1) 证明:如果f是一个满射,则f连续;(2) 举例说明当f不是满射时f可以不是连续映射.

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y.证明以下两个条件等价:

(1)f连续;

(2)对于Y的任一子集B,B的内部的原象包含于B的原象的内部,B

设X和Y是一个拓扑空间,X1⊂X.定义映射

使得对于任何证明:对于的紧致开拓扑而言,映射r连续.

设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有

e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.

设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:

(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;

(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑

设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得

证明为道路连通子集.

设X是一个拓扑空间.令

证明:是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间.