求集合的导集和闭包.(1)设A是有限补空间X中的一个无限子集求A的导集和闭包;(2)设A是可数补空间X中的一个不可数子集.求A的导集和闭包;(3)求实数空间R中的全体有理数集Q的导集和闭包;(4)设X"是§2.2习题9中定义的拓扑空间.求单点集{∞}的导集和闭包.

设X是一个拓扑空间;是X中的一个子集族证明:如果对于每一个,集.合A_y的导集是闭集,则集合的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )

证:要证是闭集,即.

因对任意的所以于是又因所以要使(*)成立,只须或即对任意的有x.

设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使得U⊂Xn是.的一个元素当且仅当或者或者Xⁿ- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.

(1)是Xⁿ的一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个空间.

设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.

A是度量空间(X,P₂)的开集.

设p₁利p₂是集合X的两个等价的度量,Y是一个度量空间f:X→Y.证明f相对于度量p而言是连续的当且仅当f相对于度量P₂而言是连续的.

设X是一个拓扑空间.令

证明:是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).