设时间序列Xt由下面随机过程生成：，其中εt为一均值为0，方差为的白噪声序列，Zt是一均值为0，方差

令(e_t:t=-1,0,1,...为均值为0和方差为1的独立同分布随机变量序列。定义如下随机过程：

(i)求出E(xt)和Var(x_t)。它们取决于t吗？

(ii)证明Cor(x_t,x_t+1)=-1/2，Corr(x_t,x_t+2)=1/3。

(提示：最简单的方法是利用习题1中的公式。)

(iii)在h＞2时，Corr(x_t,x_t+h)是多少？

(iv)(x_t)是渐近无关过程吗？

考虑离散傅里叶变换

其中W_N=e^-j2x/N,假设序列值x(n)是一均值为零的平稳白噪声序列的N个相邻序列值,即

(1)试确定|X(k)|²的方差

(2)试确定离散傅里叶变换值间的互相关,即确定E[X(k)X(r)],并把它表示为k和r的函数。

A.t时刻的均值E(Xt)不依赖t

B.t时刻的方差Var(Xt)不依赖t

C.t时刻与s(s≠t)时刻的协方差cov(Xt，Xs)不依赖t也不依赖s

D.t时刻与s时刻的协方差与t+1,s+1时刻的协方差相等，即

设{X_n}为独立同分布的随机变量序列，方差有限，且X_n不恒为常数.如果，试证：随机变量序列{S_n}不服从大数定律.

注：此题有误，条件“X_n不恒为常数”应该改为“X_n不恒为常数的概率大于0”或“Var(X_n)＞0”

设m与n₁,n₂是彼此独立且均值为 0、方差为σ²的高斯随机变量，

.试求概率P(X₁≤X₂)。

计算样本均值与样本方差时，常常先对数据x₁，x₂，...，x_n作线性变换=(a，b为常数，b≠0)，设分别是x₁，x₂，...，x_n的样本均值和样本方差，分别是y₁，y₂，...，y_n的样本均值和样本方差。证明：。

为μ的任一线性无偏估计量，证明：与T的相关系数为

在随机效应模型中，定义复合误差为，其中a_it与u_it无关，而且u_it有常方差并且是序列无关的。定义，其中λ由式(14.10)给出。

设(n＞2)为来自总体N(0,σ²)的简单随机样本,为样本均值.记求

(I)Y_i的方差DY_i,i=1,2,...,n;

(II)Y_i与Y_n的协方差Cov(Yi,Y_n);

(III)常数C使;

(IV)

设x，s_x²为x₁，x₂，···，x_n的样本均值与样本方差，做数据交换：设y，s_y²为y₁，y₂，···，y_n的样本均值与样本方差，证明：(1)x=a+cy;(2)s_x²=c²s_y²。