设X和Y是两个拓扑空间.分别记xєX和yєY在拓扑空间X和Y中所属的连通分支为C(x)和D(y).设f:X→Y为

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f（X)也是一个空间

设X和Y是两个拓扑空间f:X→Y是一个连续映射,证明:如果X是一个空间,则f(X)也是一个空间.

设Y为拓扑空间X的一个子空间,A⊂Y.证明:

并举例说明等式可以不成立.

设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有e（f,x)=f（x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑

设X和Y是两个拓扑空间.映射使得对于每一个X有

e(f,x)=f(x) 称为赋值映射证明:对于的紧致开拓扑而言,赋值映射e是一个连续映射.

设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:（1)如果是X的一个子基,则为Y的一个子基.（2)如果是点y在X

设Y为拓扑空间X的一个子空间,yєY.证明:

(1)如果是X的一个子基,则为Y的一个子基.

(2)如果是点y在X中的一个邻域子基,则IY是点y在Y中的一个邻域子基.

设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:（1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;（2)

设是两个拓扑空间,并且Y⊂X:证明:

(1) 如果的一个子空间,则内射i:Y→X是一个连续映射;

(2) 如果内射i:Y→X是一个连续映射,则因此我们说:相对的拓扑是使内射连续的最小的拓扑

设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y是一个商映射.令R={（x,y)єx2:f（x)=f（y)}证明:（1)R是X中的一个等价关系;（2)Y同胚于商空间X/R.

设X,Y为拓扑空间,为X的开集族并且证明:映射f:X→Y为连续映射当且仅当对于任意为连续映射.

设X和Y是一个拓扑空间,X1⊂X.定义映射

使得对于任何证明:对于的紧致开拓扑而言,映射r连续.