设V_r是n维线性空间V_n的一个子空间, 是V_r的一个基。试证:V_n中存在元素 ,使成为V

设α₁，α₂，···，α_n是线性空间V_n的一个基，证明2α₂，3α₃，···，nα_n，α₁也是Vn的一个基，并求由基α₁，α₂，···，α_n到基2α₂，3α₃，···，nα_n，α₁的过渡矩阵P。

设是n维线性空间V的两个线性变换，证明：

设和是n维线性空间V中的向量组。且是可逆矩阵，证明:与都是V的基，或者都不是V的基。

设是n维线性空间V的一组基,又V中向量α_n+1在这组基下的坐标全不为零.证明中任意个向量必构成V的一组基,并求a₁在基下的坐标.

设V为n维线性空间，η₁,η₂,…η_n为V的一个基

α₁=η₁+η₂+...+η_n,α₂=η₂+...+η_n,...,α_n=η_n

(1)证明:α₁,α₂...,α_n为V的一个基

(2)求由基η₁,η₂,…η_n到基α₁,α₂...,α_n的过渡矩阵

(3)设α在基η₁,η₂,…η_n下的坐标为(α₁,α₂...,α_n),求α在基α₁,α₂...,α_n下的坐标

设f为n维线性空间V上的双线性函数,令

证明:W1与W2都是V的线性子空间，且dimW₁=dimW₂