设群G=G₁XG₂X…XG_n.证明:是群G到G_i的满同态.

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设G是群，G_i(0≤i≤k)为其子群且

则称此为群G的规群列若群G有正规群列(1)且诸商群

又都是交换群时,则称G为解群证明:对称群S₂,S₃及S₄都是可解群

设N是环R到环的同态满射φ的核，证明:

设f和g都是的群同态，且H₁=|x|x∈G₁Ʌf(x)=g(x)|。试证的子群。

设群,其中A'表示A的转置，证明H是G的子群.

设φ是环R到环的一个同态满射，K为其同态核,NIR

证明:若KN,则N在中象的逆象就是N