设物体绕定轴旋转，转角0（t)是t的函数，已知其在时间间隔△t内转过角度△θ;如果旋转是匀速的，那么称w=θ/t为该物体旋转的角速度，如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在初始时刻t₀旋转的角速度？

设L：（a＞0，0≤t≤2π)，求L绕x轴旋转而成的几何体的体积。

设L：(a＞0，0≤t≤2π)，求L绕x轴旋转而成的几何体的体积。

设空间曲线L的参数方程是x=x（t),y=y（t),z=z（t),-∞＜t＜+∞,求它绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程。

设两个函数U（t)和v（t)，如果则称u（t)和v（t)在区间（a，b)上是正交的。如果另外有则称这两个函数是

设两个函数U(t)和v(t)，如果

则称u(t)和v(t)在区间(a，b)上是正交的。如果另外有

则称这两个函数是归一化的。因此称这两个函数为归一化正交。如果在一个函数集|Φk (t)|中，每一对函数都是正交(或归一化正交)的，则称这个函数集为正交(或归一化正交)函数集。

(a)考虑图3-19所示的各对信号u(t)和v(t)，判定每一对信号是否在区间(0，4)上正交;

(b) 函数sinmω0 t和sin nω0t， 在区间(0， T) 上是正交的吗？这里T=2π/ω0 。它们也是归一化正交的吗？

(c)对函数Φm(t)和中Φn(t)，重做(b)，其中

(d)证明函数集中Φk(t)=e^jkω0t：在任何长度为T=2π/ω0，的区间上都是正交的。它们也是归一化正交的吗？

(e)设x(t)是一个任意信号，x0(t)和xe(t)分别是x(t)的奇部和偶部。证明对任何T，x0(t)和xe(r)在区间(—T，T)上是正交的。

(f)证明：如果|Φk(t) |是区间(a，b)上的正交信号集，则信号集| (/jAk) Φk(r)是归一化正交的，其中

(g)设|Φi(t) |是区间(a，b)的归一化正交信号集，考虑如下形式的信号：

其中ai为复常数。证明：

(h)假设声中，Φ1 (t)，…，ΦN(t)中，(t)仅在时间区间0≤t≤T上是非零的，而且它们在此时间区间上是归一化正交的。令L1为一个线性时不变系统，其单位冲激响应为

证明：若将Φ1 (t)加到该系统上，则当i=j时，在时刻T，系统的输出为1;当i≠j时，在时刻T，系统的输出为0.单位冲激响应由式(P3.65-2)给出的系统在习题2.66和习题2.67中称为信号Φ1(t)的匹配滤波器。

等速旋转运动的角速度ω等于旋转角θ与时间t之比，试给出变速旋转运动θ=θ（t)的瞬时角速度。

图6-14所示搅拌器沿轴周期性上下运动，并绕轴转动，转角φ=ωt。设搅拌轮半径为r，求轮缘上点A的最大加速度。

已知平稳随机过程X（t)的自相关函数R_x（t)是周期T=2的周期性函数，其在区间（-1,1)上的截断函

数表达式为

试求X(t)的功率谱密度P_x(w),并用图形表示.

平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为()

(A)2abB|coswt|

(B)wabB

(C)1/2wabBIcoswtI

(D)wabBIcoswt|

求曲线x=a（t一sint),y=a（1一cost),0≤t≤2π绕x轴和y轴旋转所成曲面的面积.