证明 以单位圆周|z|=1为自然边界.

试证以z₁与z₂为直径的两端点的圆周方程是，且当点z在该圆周内时有，当点z在该圆周外时有

由积分

之值证明

其中C取单位圆周|z|=1.

设z₁，z₂，z₃三点适合条件：证明z₁，z₂，z₃是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点。

证明方程表示z平面上一个圆周，其圆心为z₀，半径为ρ，且。

试证：复数z₁，z₂，z₃，z₄在同一圆周上或同一直线上的条件是。

证明函数f(z)=z²+2z+3在单位圆|z|<1内是单叶的.

提示:对圆内的任二相异点z₁,z₂,证明

证明复平面上的圆周可以写成，其中A，C为实数，A≠0，β为复数且|β|²＞AC。

半圆形薄板,半径为,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持u₀.求稳定状态下的板上温度分布.

如果复数z₁，z₂，z₃满足等式，证明|z₂-z₁|=|z₃-z₁|=|z₂-z₃|，并说明这些等式的几何意义。