设m₁，m₂，…，m_k是k个两两互素的正整数，则当x₁，x₂，…，x_k分别过模m₁，m

若m₁,m₂,---,m_k,是k个两两互质的正整数，。分别通过模m₁,m₂,---,m_k的简化剩余系，则通过模m₁m₂,---m_k=m的简化剩余系，其中m= m_iM_i,i=1,2---,k。

若m₁,m₂,---,m_k,是k个两两互质的正整数，。分别通过模m₁,m₂,---,m_k的简化剩余系，则通过模m₁m₂,---m_k=m的简化剩余系，其中m= m_iM_i,i=1,2---,k。

证明中国剩余定理：设正整数两两互素,则线性同余方程组有整数解,且在模下解是唯一的,即任意两个解都是模m同余的。

设n₁,n₂,…,n_s是s个两两互素的正整数.证明:剩余类环的外直和

同构

用C_k表示k阶循环群证明:

当且仅当正整数m₁,m₂,...,m_n两两互素.

两两互素，则a可惟一表示为

a=a₁,a₂,...,a_n

其中a₁都是a的方幂(从而可两两互换)且

|a_i|=m_i(i=1,2,...,n)

设m是大于1的整数，（a，m)=1，且b₁，b₂，…，b_φ（m)是模m的一简化剩余系，ab_i=r_i（m

od m)，

若m是大于1的正整数，a是整数，（a,m)=1， ξ通过m的简化剩余系，则 ，其中 表示展布在ξ所通过的一切

若m是大于1的正整数，a是整数，(a,m)=1， ξ通过m的简化剩余系，则，其中表示展布在ξ所通过的一切值上的和式。

设k为正整数,则=（)

设k为正整数,则=()