证明:在完备度量空问X中存立闭球套定理,即若且则存在唯一的反之,若在度量空间X中存立闭球套定理，则X是完备度量空间.

设A为从完备度量空间X到y中映射,若在开球U（x₀,r)（r＞0)内适合又A在闭球S（x⁰,r)={xId（x,x₀)≤r}上连续,并且

证明:A在S（x₀,r)中有不动点.

设A为从完备度量空间X到y中映射,若在开球U(x₀,r)(r＞0)内适合又A在闭球S(x⁰,r)={xId(x,x₀)≤r}上连续,并且

证明:A在S(x₀,r)中有不动点.

设X是Banach空间,是一个闭球套，即

证明存在着唯一的点x∈X,使

设X为完备度量空间,A是X到X中映射,记

若则映射A有唯一不动点.

设X是一个拓扑空间.令 证明:是映射空间Rx（一致收敛度量)的一个闭子集（因此它作

设X是一个拓扑空间.令

证明:是映射空间Rx(一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为Rx的度量子空间是完备的).

设X为度量空间.证明:（1) 若X中序列|x_i|收敛于x,并且为有限集,则存在N∈N使得当i＞N时x_i=

设X为度量空间.证明:

(1) 若X中序列|x_i|收敛于x,并且为有限集,则存在N∈N使得当i＞N时x_i=x.

(2) X中收敛序列有唯一的极限.

(3) 定理2.7.2和2.7.3的逆命题成立.

设(X,d)为一度量空间，令

问U(x₀,ε)的闭包是否等于S(x₀,ε)？

集合X的两个度量p₁和ρ₂称为等价的,如果X的子集A是度量空间（X,ρ₁)中的开集当且仅当

A是度量空间(X,P₂)的开集.

设p₁利p₂是集合X的两个等价的度量,Y是一个度量空间f:X→Y.证明f相对于度量p而言是连续的当且仅当f相对于度量P₂而言是连续的.

如果Y是拓扑空间X的一个开（闭)子集,则Y作为X的子空间时特别称为X的开（闭)子空间.证明:（1)如果Y是拓扑空间X的开子空间,则A⊂Y是Y中的一个开集当且仅当A是X的一个开集;（2)如果Y是拓扑空间X的闭子空间,则A⊂Y是Y中的一个闭集当且仅当A是X的一个闭集.

设X是一个拓扑空间证明:X是一个正则空间当且仅当如果xєX,A是X中的一个闭集,使得,则x和A分别有开邻域U和V使得c(U)∩c(V)=Ф.