设A是数域K上n级对称矩阵,证明:如果B是K上主对角元全为l的n级上三角矩阵,那么B'AB与A的k阶顺序主子式相等,k=1,2,...,n

设n阶矩阵A分块为

其中A₁₁为k阶可逆矩阵(k＜n),证明:存在主对角元为1的上三角矩阵U和下三角矩阵L,使得

设A₁,A₂,…,A_n，都是数域K上的n级矩阵,证明:如果且A₁,A₂,…,A_I都是幂等矩阵,那么

证明:如果数域K上n级矩阵A满足

其中b_i∈K,i=0,1,...,m,且b₀≠0,那么A可逆:并且求A^-1。

如图所示，设是数域K上一个多项式。证明:如果λ₀是K上n级矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ₀的一个特征向量,那么f(λ₀)是矩阵f(A)的一个特征值,且α是f(A)的属于f(λ₀)的一个特征向量。