称群G中元素a^-1b^-1ab为G中元素a与b的位元，记为ab.证明:1)由G中所有换位元生成的子群K是G的一个正规子群2)GK是交换群3)若NlG,且G N可换,则NK

设G是一个群,且|G|＞1.证明:若G中除单位元e外其余元素的阶都相同,则这个相同的阶不是无限就是一个素数.

设G是群，G_i（0≤i≤k)为其子群且则称此为群G的规群列若群G有正规群列（1)且诸商群又都是交换群

设G是群，G_i(0≤i≤k)为其子群且

则称此为群G的规群列若群G有正规群列(1)且诸商群

又都是交换群时,则称G为解群证明:对称群S₂,S₃及S₄都是可解群

设K是群G的一个有限正规子群，P足K的一个Sylowp-子群.证明:G=N（P)K

设a,b是群G中两个有限阶元素,且ab=ba,（a|,|b|)=1证明:（a,b)=（ab)

设（G,* )是群,若对于任意x∈G都有x²=e,其中e为群G的单位元,则（G, * )是阿贝尔群。

设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基（IKaplansky)定理:设R是一个有单位元（用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.

设H|G，且（G:H)=m.证明:对群G中任意元素a都有a^m∈H.